集合

定义

把研究的对象集在一起构成集合。

集合中

有有限个元素：有限集

有无限个元素：无限集

空集

不含元素的集合：[math]\displaystyle{ \emptyset }[/math]

空集也是有限集。

元素和集合的关系

属于：[math]\displaystyle{ \in }[/math]

不属于：[math]\displaystyle{ \notin }[/math]

集合中元素的三个特征

1. 确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的. 也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素是否存在这一个集合中就确定了.
2. 互异型：一个给定集合中的元素是互不相同的. 也就是说，集合中的元素是不重复出现的.
3. 无序性：给定集合中的元素是不分先后的，没有顺序的.

数集

数集之间的关系（Venn 图）

数学里最常用的集合是各种数的集合，简称数集。

示例

1. 所有正整数组成的集合称为正整数集，记作 [math]\displaystyle{ \mathbb{N}^* }[/math]，[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}^+ }[/math] 或 [math]\displaystyle{ \mathbb{N}^+ }[/math]
2. 所有负整数组成的集合称为负整数集，记作 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_- }[/math]
3. 全体自然数组成的集合称为自然数集，记作 [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math]
4. 全体整数组成的集合称为整数集，记作 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math]
5. 全体有理数组成的集合称为有理数集，记作 [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math]
6. 全体实数组成的集合称为实数集，记作 [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]

集合的表示方法

列举法

把集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号“[math]\displaystyle{ \{ \} }[/math]”括起来表示集合的方法叫做列举法.

注意事项：

1. 元素与元素之间必须用“[math]\displaystyle{ , }[/math]”隔开.
2. 集合中的元素可以是任何事物.
3. 集合中的元素不能重复.

示例：

一元二次方程 [math]\displaystyle{ 3x^2 - 6x = 0 }[/math] 的解集为：[math]\displaystyle{ \{0, 2\} }[/math].

描述法

一般地，设 A 表示一个集合，把集合 A 中所有具有共同特征 P(x) 的元素 x 所组成的集合表示为 [math]\displaystyle{ \{x \in A | P(x)\} }[/math]，这种表示方法称为描述法.

注意事项：

1. 写清楚集合中元素的符号. 如数或点等.
2. 不能出现未被说明的字母.

示例：

奇数集：[math]\displaystyle{ \{x | x = 2n + 1, n \in \mathbb{N}\} }[/math].

偶数集：[math]\displaystyle{ \{x | x = 2n, n \in \mathbb{N}\} }[/math].

子集

描述 A 真包含于 B 的 Venn 图

如果集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 的每一个元素都是集合 [math]\displaystyle{ B }[/math] 的元素，就称 [math]\displaystyle{ A }[/math] 是 [math]\displaystyle{ B }[/math] 的一个子集.

记作 [math]\displaystyle{ A \subseteq B }[/math]（读作：A 包含于 B）或 [math]\displaystyle{ B \supseteq A }[/math]（B 包含 A）.

如果 [math]\displaystyle{ A \subseteq B }[/math] 并且 [math]\displaystyle{ B \subseteq A }[/math]，就说这两个集合相等，记作：[math]\displaystyle{ A = B }[/math].

如果 [math]\displaystyle{ A \subseteq B }[/math] 但是 [math]\displaystyle{ A \neq B }[/math]，就说 A 是 B 的真子集，记作：[math]\displaystyle{ A \subsetneqq B }[/math]，读作：A 真包含于 B. 例如，[math]\displaystyle{ (1, 6) \subsetneqq [1, 6] }[/math].

包含关系还有传递性：

1. 若 [math]\displaystyle{ A \subseteq B }[/math]，[math]\displaystyle{ B \subseteq C }[/math]，则 [math]\displaystyle{ A \subseteq C }[/math]；
2. 若 [math]\displaystyle{ A \subsetneqq B }[/math]，[math]\displaystyle{ B \subseteq C }[/math]，则 [math]\displaystyle{ A \subseteq C }[/math]；

等等.

有限集的子集个数的确定方法

1. 含有 [math]\displaystyle{ n }[/math] 个元素的集合有 [math]\displaystyle{ 2^n }[/math] 个子集；
2. 含有 [math]\displaystyle{ n }[/math] 个元素的集合有 [math]\displaystyle{ (2^n-1) }[/math] 个真子集；
3. 含有 [math]\displaystyle{ n }[/math] 个元素的集合有 [math]\displaystyle{ (2^n-1) }[/math] 个非空子集；
4. 含有 [math]\displaystyle{ n }[/math] 个元素的集合有 [math]\displaystyle{ (2^n-2) }[/math] 个非空真子集.

补集

[math]\displaystyle{ \complement_U A }[/math]