集合：修订间差异

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2024年9月17日 (二) 11:32的最新版本

定义

把研究的对象集在一起构成集合。

集合中

有有限个元素：有限集

有无限个元素：无限集

空集

不含元素的集合：[math]\displaystyle{ \emptyset }[/math]

空集也是有限集。

元素和集合的关系

属于：[math]\displaystyle{ \in }[/math]

不属于：[math]\displaystyle{ \notin }[/math]

集合中元素的三个特征

确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的. 也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素是否存在这一个集合中就确定了.
互异型：一个给定集合中的元素是互不相同的. 也就是说，集合中的元素是不重复出现的.
无序性：给定集合中的元素是不分先后的，没有顺序的.

数集

数学里最常用的集合是各种数的集合，简称数集。

示例

所有正整数组成的集合称为正整数集，记作 [math]\displaystyle{ \mathbb{N}^* }[/math]，[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}^+ }[/math] 或 [math]\displaystyle{ \mathbb{N}^+ }[/math]
所有负整数组成的集合称为负整数集，记作 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_- }[/math]
全体自然数组成的集合称为自然数集，记作 [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math]
全体整数组成的集合称为整数集，记作 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math]
全体有理数组成的集合称为有理数集，记作 [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math]
全体实数组成的集合称为实数集，记作 [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]

集合的表示方法

列举法

把集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号“[math]\displaystyle{ \{ \} }[/math]”括起来表示集合的方法叫做列举法.

注意事项：

元素与元素之间必须用“[math]\displaystyle{ , }[/math]”隔开.
集合中的元素可以是任何事物.
集合中的元素不能重复.

示例：

一元二次方程 [math]\displaystyle{ 3x^2 - 6x = 0 }[/math] 的解集为：[math]\displaystyle{ \{0, 2\} }[/math].

描述法

一般地，设 A 表示一个集合，把集合 A 中所有具有共同特征 P(x) 的元素 x 所组成的集合表示为 [math]\displaystyle{ \{x \in A | P(x)\} }[/math]，这种表示方法称为描述法.

注意事项：

写清楚集合中元素的符号. 如数或点等.
不能出现未被说明的字母.

示例：

奇数集：[math]\displaystyle{ \{x | x = 2n + 1, n \in \mathbb{N}\} }[/math].

偶数集：[math]\displaystyle{ \{x | x = 2n, n \in \mathbb{N}\} }[/math].

子集

如果集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 的每一个元素都是集合 [math]\displaystyle{ B }[/math] 的元素，就称 [math]\displaystyle{ A }[/math] 是 [math]\displaystyle{ B }[/math] 的一个子集.

记作 [math]\displaystyle{ A \subseteq B }[/math]（读作：A 包含于 B）或 [math]\displaystyle{ B \supseteq A }[/math]（B 包含 A）.

如果 [math]\displaystyle{ A \subseteq B }[/math] 并且 [math]\displaystyle{ B \subseteq A }[/math]，就说这两个集合相等，记作：[math]\displaystyle{ A = B }[/math].

如果 [math]\displaystyle{ A \subseteq B }[/math] 但是 [math]\displaystyle{ A \neq B }[/math]，就说 A 是 B 的真子集，记作：[math]\displaystyle{ A \subsetneqq B }[/math]，读作：A 真包含于 B. 例如，[math]\displaystyle{ (1, 6) \subsetneqq [1, 6] }[/math].

包含关系还有传递性：

若 [math]\displaystyle{ A \subseteq B }[/math]，[math]\displaystyle{ B \subseteq C }[/math]，则 [math]\displaystyle{ A \subseteq C }[/math]；
若 [math]\displaystyle{ A \subsetneqq B }[/math]，[math]\displaystyle{ B \subseteq C }[/math]，则 [math]\displaystyle{ A \subseteq C }[/math]；

等等.

有限集的子集个数的确定方法

含有 [math]\displaystyle{ n }[/math] 个元素的集合有 [math]\displaystyle{ 2^n }[/math] 个子集；
含有 [math]\displaystyle{ n }[/math] 个元素的集合有 [math]\displaystyle{ (2^n-1) }[/math] 个真子集；
含有 [math]\displaystyle{ n }[/math] 个元素的集合有 [math]\displaystyle{ (2^n-1) }[/math] 个非空子集；
含有 [math]\displaystyle{ n }[/math] 个元素的集合有 [math]\displaystyle{ (2^n-2) }[/math] 个非空真子集.

补集

[math]\displaystyle{ \complement_U A }[/math]

@@ 第5行： / 第5行： @@
 === 集合中 ===
-有 有限个元素：有限集
+有有限个元素：有限集
-有 无限个元素：无限集
+有无限个元素：无限集
 === 空集 ===
-不含元素的集合：Ø
+不含元素的集合：<math>\emptyset</math>
 <strong>空集也是有限集</strong>。
@@ 第17行： / 第17行： @@
 == 元素和集合的关系 ==
-属于：∈
+属于：<math>\in</math>
-不属于：∉
+不属于：<math>\notin</math>
 == 集合中元素的三个特征 ==
-. 确定性
+# 确定性：给定的集合，它的'''元素必须是确定的'''. 也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素是否存在这一个集合中就确定了.
+# 互异型：一个给定集合中的'''元素是互不相同的'''. 也就是说，集合中的元素是不重复出现的.
-. 互异型
+# 无序性：给定集合中的'''元素是不分先后的'''，没有顺序的.
-. 无序性
 == 数集 ==
+[[文件:数集.png|200px|缩略图|数集之间的关系（Venn 图）]]
 数学里最常用的集合是各种数的集合，简称<strong>数集</strong>。
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 === 示例 ===
-所有正整数组成的集合称为<strong>正整数集</strong>，记作 '''N*'''，'''Z<sub>+</sub>''' 或 '''N<sub>+</sub>'''
+# 所有正整数组成的集合称为<strong>正整数集</strong>，记作 <math>\mathbb{N}^*</math>，<math>\mathbb{Z}^+</math> 或 <math>\mathbb{N}^+</math>
+# 所有负整数组成的集合称为<strong>负整数集</strong>，记作 <math>\mathbb{Z}_-</math>
+# 全体自然数组成的集合称为<strong>自然数集</strong>，记作 <math>\mathbb{N}</math>
+# 全体整数组成的集合称为<strong>整数集</strong>，记作 <math>\mathbb{Z}</math>
+# 全体有理数组成的集合称为<strong>有理数集</strong>，记作 <math>\mathbb{Q}</math>
+# 全体实数组成的集合称为<strong>实数集</strong>，记作 <math>\mathbb{R}</math>
+== 集合的表示方法 ==
+=== 列举法 ===
+把集合中的所有元素'''一一列举出来'''，并用花括号“<math>\{ \}</math>”括起来表示集合的方法叫做'''列举法'''.
+注意事项：
+# 元素与元素之间必须用“<math>,</math>”隔开.
+# 集合中的元素可以是任何事物.
+# 集合中的元素不能重复.
+示例：
+一元二次方程 <math>3x^2 - 6x = 0</math> 的解集为：<math>\{0, 2\}</math>.
+=== 描述法 ===
+一般地，设 A 表示一个集合，把集合 A 中所有具有共同特征 P(x) 的元素 x 所组成的集合表示为 <math>\{x \in A | P(x)\}</math>，这种表示方法称为'''描述法'''.
-所有负整数组成的集合称为<strong>负整数集</strong>，记作 '''Z<sub>-</sub>'''
+注意事项：
-全体自然数组成的集合称为<strong>自然数集</strong>，记作 '''N'''
+# 写清楚集合中元素的符号. 如数或点等.
+# 不能出现未被说明的字母.
-全体整数组成的集合称为<strong>整数集</strong>，记作 '''Z'''
+示例：
-全体有理数组成的集合称为<strong>有理数集</strong>，记作 '''Q'''
+奇数集：<math>\{x | x = 2n + 1, n \in \mathbb{N}\}</math>.
-全体实数组成的集合称为<strong>实数集</strong>，记作 '''R'''
+偶数集：<math>\{x | x = 2n, n \in \mathbb{N}\}</math>.
 == 子集 ==
-[[文件:真子集.jpg|100px|缩略图|描述 A 真包含于 B 的 Venn 图]]
+[[文件:真子集.jpg|120px|缩略图|描述 A 真包含于 B 的 Venn 图]]
-'''如果集合 A 的每一个元素都是集合 B 的元素，就称 A 是 B 的一个子集'''.
+'''如果集合 <math>A</math> 的每一个元素都是集合 <math>B</math> 的元素，就称 <math>A</math> 是 <math>B</math> 的一个子集'''.
-记作 '''A⊆B'''（读作：'''A 包含于 B'''）或 '''B⊇A'''（'''B 包含 A'''）.
+记作 <math>A \subseteq B</math>（读作：'''A 包含于 B'''）或 <math>B \supseteq A</math>（'''B 包含 A'''）.
-如果 A⊆B 并且 B⊆A，就说这两个集合'''相等'''，记作：'''A=B'''.
+如果 <math>A \subseteq B</math> 并且 <math>B \subseteq A</math>，就说这两个集合'''相等'''，记作：<math>A = B</math>.
-如果 A⊆B 但是 B≠A，就说 A 是 B 的'''真子集'''，记作：A⫋B，读作：'''A 真包含于 B'''. 例如，(1, 6)⫋[1, 6].
+如果 <math>A \subseteq B</math> 但是 <math>A \neq B</math>，就说 A 是 B 的'''真子集'''，记作：<math>A \subsetneqq B</math>，读作：'''A 真包含于 B'''. 例如，<math>(1, 6) \subsetneqq [1, 6]</math>.
-包含关系还有传递性：若 A⊆B，B⊆C，则 A⊆C；若 A⫋B，B⊆C，则 A⫋C；等等.
+包含关系还有传递性：
+# 若 <math>A \subseteq B</math>，<math>B \subseteq C</math>，则 <math>A \subseteq C</math>；
+# 若 <math>A \subsetneqq B</math>，<math>B \subseteq C</math>，则 <math>A \subseteq C</math>；
+等等.
+=== 有限集的子集个数的确定方法 ===
+# 含有 <math>n</math> 个元素的集合有 <math>2^n</math> 个子集；
+# 含有 <math>n</math> 个元素的集合有 <math>(2^n-1)</math> 个真子集；
+# 含有 <math>n</math> 个元素的集合有 <math>(2^n-1)</math> 个非空子集；
+# 含有 <math>n</math> 个元素的集合有 <math>(2^n-2)</math> 个非空真子集.
 == 补集 ==
-[[category:数学]]
+<math>\complement_U A</math>
+[[category:代数]]