不等式

我们经常用不等式来研究含有不等关系的问题.

基本事实

如果 [math]\displaystyle{ a - b \gt 0 }[/math], 那么 [math]\displaystyle{ a \gt b }[/math]

如果 [math]\displaystyle{ a - b = 0 }[/math], 那么 [math]\displaystyle{ a = b }[/math]

如果 [math]\displaystyle{ a - b \lt 0 }[/math], 那么 [math]\displaystyle{ a \lt b }[/math]

反过来也成立. 即

[math]\displaystyle{ a \gt b \Leftrightarrow a - b \gt 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ a = b \Leftrightarrow a - b = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ a \lt b \Leftrightarrow a - b \lt 0 }[/math]

所以，如要证明 [math]\displaystyle{ x \le a }[/math], 只需证明 [math]\displaystyle{ x - a \le 0 }[/math] 即可.

基本不等式

把不等式 [math]\displaystyle{ \frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}(a \gt 0, \; b \gt 0) }[/math] 称为基本不等式.

对任意 [math]\displaystyle{ a, b \in R, a^2 + b^2 \ge 2ab }[/math]，当且仅当 [math]\displaystyle{ a = b }[/math] 时等号成立.

对任意正数 [math]\displaystyle{ a, b, \frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab} }[/math]，当且仅当 [math]\displaystyle{ a = b }[/math] 时等号成立.

一般地，对于正数 [math]\displaystyle{ a,\; b }[/math]，我们把 [math]\displaystyle{ \frac{a + b}{2} }[/math] 称为 [math]\displaystyle{ a,\; b }[/math] 的算术平均数，[math]\displaystyle{ \sqrt{ab} }[/math] 称为 [math]\displaystyle{ a,\; b }[/math] 的几何平均数.

拓展结论

1. 已知 [math]\displaystyle{ x, \; y }[/math] 都为正数，如果 [math]\displaystyle{ xy }[/math] 等于定值 [math]\displaystyle{ P }[/math]，那么当且仅当 [math]\displaystyle{ x = y }[/math] 时，和 [math]\displaystyle{ x + y }[/math]有最小值 [math]\displaystyle{ 2 \sqrt{p} }[/math];
2. 如果 [math]\displaystyle{ x + y }[/math] 是定值 [math]\displaystyle{ s }[/math]，那么当且仅当 [math]\displaystyle{ x = y }[/math] 时，积 [math]\displaystyle{ xy }[/math] 有最大值 [math]\displaystyle{ \frac{s^2}{4} }[/math].

由此可总结出：

当两个正数变量的积或和为定值时，他们的和有最小值或积有最大值

糖水原理

[math]\displaystyle{ a }[/math] 克糖水中有 [math]\displaystyle{ b }[/math] 克糖，

它的质量分数就是 [math]\displaystyle{ \frac {b}{a} }[/math].

再向容器中加入 [math]\displaystyle{ c }[/math] 克糖，

得到质量分数为 [math]\displaystyle{ \frac{b+c}{a+c} }[/math] 的糖溶液.

加入两次糖后的溶液更甜，即后者质量分数更大.

即

[math]\displaystyle{ \frac {b}{a} \lt \frac {b + c}{a + c} }[/math].

证明过程

其中，[math]\displaystyle{ a \gt b \gt 0, \; c \gt 0 }[/math].

作差证明：

[math]\displaystyle{ \frac {b}{a} - \frac {b + c}{a + c} = \frac {ab + bc - ab - ac}{a(a + c)} = \frac {bc - ac}{a(a + c)} = \frac {c(b - a)}{a(a + c)} \lt 0 }[/math]

所以 [math]\displaystyle{ \frac {b}{a} \lt \frac {b + c}{a + c} }[/math].

一元二次不等式

与二次函数的关系

	[math]\displaystyle{ \Delta \gt 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ \Delta = 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ \Delta \lt 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ y = ax^2 + bx + c \quad (a \gt 0) }[/math] 的图象	此时与x轴有两个交点	此时图像与x轴有且仅有一个交点（或有两个相同的实数解）	此时与x轴没有交点
[math]\displaystyle{ ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \gt 0) }[/math] 的根	有两个不相等的实数根 [math]\displaystyle{ x_1, x_2 \quad (x_1 \lt x_2) }[/math]	有两个相等的实数根 [math]\displaystyle{ x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a} }[/math]	没有实数根
[math]\displaystyle{ ax^2 + bx + c \gt 0 \quad (a \gt 0) }[/math] 的解集	[math]\displaystyle{ \{x \mid x \lt x_1 \text{ 或 } x \gt x_2\} }[/math]	[math]\displaystyle{ \{x \mid x \neq -\frac{b}{2a}\} }[/math]	[math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]
[math]\displaystyle{ ax^2 + bx + c \lt 0 \quad (a \gt 0) }[/math] 的解集	[math]\displaystyle{ \{x \mid x_1 \lt x \lt x_2\} }[/math]	[math]\displaystyle{ \emptyset }[/math]	[math]\displaystyle{ \emptyset }[/math]

一元二次方程根的分布/二次函数的零点分布（卡根法）

两根与 0 的大小比较即根的正负情况（表一）

分布情况	两个负根 即两根都小于 0 [math]\displaystyle{ (x_1 \lt 0, x_2 \lt 0) }[/math]	两个正根 即两根都大于 0	一正根一负根 即一根小于 0，一根大于 0
大致图象 [math]\displaystyle{ (a\gt 0) }[/math]	<图象>	<图象>	<图象>
得出的结论

两根与 0 的大小比较即根的正负情况（表二）

分布情况	两个负根 即两根都小于 0	两个正根 即两根都大于 0	一正根一负根 即一根小于 0，一根大于 0
大致图象 (a<0)	<图象>	<图象>	<图象>
得出的结论

例题

基本不等式

用一段长为 [math]\displaystyle{ 36\,\text{m} }[/math] 的篱笆围成一个矩形菜园.

1. 当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
2. 当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？

解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为 [math]\displaystyle{ x\,\text{m}, y\,\text{m} }[/math]，则篱笆的长度为 [math]\displaystyle{ 2(x + y)\,\text{m} }[/math].

1.

• 由已知，得 [math]\displaystyle{ xy = 100 }[/math]，
• 根据基本不等式 [math]\displaystyle{ \frac{x + y}{2} \geq \sqrt{xy} }[/math]，
• 可得 [math]\displaystyle{ x + y \geq 2\sqrt{xy} = 2\sqrt{100} = 20 }[/math]，
• 所以，[math]\displaystyle{ 2(x + y) \geq 40 }[/math]
• 当且仅当 [math]\displaystyle{ x = y = 10 }[/math] 时，上式等号成立.
• 因此，当这个矩形菜园是边长为 [math]\displaystyle{ 10\,\text{m} }[/math] 的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为 [math]\displaystyle{ 40\,\text{m} }[/math].

2.

• 由已知，得 [math]\displaystyle{ 2(x + y) = 40 }[/math]，矩形菜园的面积为 [math]\displaystyle{ xy\,\text{m}^2 }[/math].
• 根据基本不等式可得 [math]\displaystyle{ \sqrt{xy} \leq \frac{x + y}{2} = \frac{18}{2} = 9 }[/math]，
• 所以，[math]\displaystyle{ xy \leq 81 }[/math].
• 当且仅当 [math]\displaystyle{ x = y = 9 }[/math] 时，上式等号成立.
• 因此，当这个矩形菜园时边长为 [math]\displaystyle{ 9\,\text{m} }[/math] 的正方形时，菜园面积最大，最大面积是 [math]\displaystyle{ 81\,\text{m}^2 }[/math].