我们经常用不等式来研究含有不等关系的问题.

基本事实

如果 [math]\displaystyle{ a - b \gt 0 }[/math], 那么 [math]\displaystyle{ a \gt b }[/math]

如果 [math]\displaystyle{ a - b = 0 }[/math], 那么 [math]\displaystyle{ a = b }[/math]

如果 [math]\displaystyle{ a - b \lt 0 }[/math], 那么 [math]\displaystyle{ a \lt b }[/math]

反过来也成立. 即

[math]\displaystyle{ a \gt b \Leftrightarrow a - b \gt 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ a = b \Leftrightarrow a - b = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ a \lt b \Leftrightarrow a - b \lt 0 }[/math]

所以，如要证明 [math]\displaystyle{ x \le a }[/math], 只需证明 [math]\displaystyle{ x - a \le 0 }[/math] 即可.

重要不等式

基本不等式

可由 [math]\displaystyle{ \sqrt{ab} \lt \frac{a + b}{2}, \; (a \neq b) }[/math] 得到.

[math]\displaystyle{ a^2 + b^2 \gt 2ab \;(a \neq b) }[/math]

糖水原理

向容器中加入 [math]\displaystyle{ a }[/math] 克水，[math]\displaystyle{ b }[/math] 克糖得到糖的溶液，

它的质量分数就是 [math]\displaystyle{ \frac {a}{a + b} }[/math].

再向容器中加入 [math]\displaystyle{ c }[/math] 克糖

得到质量分数为 [math]\displaystyle{ \frac{a+c}{a+b+c} }[/math] 的糖溶液

加入两次糖后的溶液更甜，即后者质量分数更大.

即

[math]\displaystyle{ \frac {a}{b} \lt \frac {a + c}{b + c} }[/math].

证明过程

其中，[math]\displaystyle{ a \gt b \gt 0, \; c \gt 0 }[/math]，作差证明：

[math]\displaystyle{ \frac {a}{b} - \frac {a + c}{b + c} = \frac {ab + bc - ab - ac}{a(a + c)} = \frac {bc - ac}{a(a + c)} = \frac {c(b - a)}{a(a + c)} \lt 0 }[/math]

所以 [math]\displaystyle{ \frac {a}{b} \lt \frac {a + c}{b + c} }[/math].