2024年7月23日 (二) 21:48的版本

我们经常用不等式来研究含有不等关系的问题.

基本事实

如果 [math]\displaystyle{ a - b \gt 0 }[/math], 那么 [math]\displaystyle{ a \gt b }[/math]

如果 [math]\displaystyle{ a - b = 0 }[/math], 那么 [math]\displaystyle{ a = b }[/math]

如果 [math]\displaystyle{ a - b \lt 0 }[/math], 那么 [math]\displaystyle{ a \lt b }[/math]

反过来也成立. 即

[math]\displaystyle{ a \gt b \Leftrightarrow a - b \gt 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ a = b \Leftrightarrow a - b = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ a \lt b \Leftrightarrow a - b \lt 0 }[/math]

所以，如要证明 [math]\displaystyle{ x \le a }[/math], 只需证明 [math]\displaystyle{ x - a \le 0 }[/math] 即可.

重要不等式

[math]\displaystyle{ a^2 + b^2 \gt 2ab \;(a \neq b) }[/math]

糖水原理

向容器中加入 [math]\displaystyle{ a }[/math] 克水，[math]\displaystyle{ b }[/math] 克糖得到糖的溶液，

它的质量分数就是 [math]\displaystyle{ \frac {a}{a + b} }[/math].

再向容器中加入 [math]\displaystyle{ c }[/math] 克糖

得到质量分数为 [math]\displaystyle{ \frac{a+c}{a+b+c} }[/math] 的糖溶液

加入两次糖后的溶液更甜，即后者质量分数更大.

即

[math]\displaystyle{ \frac {a}{b} \lt \frac {a + c}{b + c} }[/math].

证明过程

其中，[math]\displaystyle{ a \gt b \gt 0, \; c \gt 0 }[/math]，作差证明：

[math]\displaystyle{ \frac {a}{b} - \frac {a + c}{b + c} = \frac {ab + bc - ab - ac}{a(a + c)} = \frac {bc - ac}{a(a + c)} = \frac {c(b - a)}{a(a + c)} \lt 0 }[/math]

所以 [math]\displaystyle{ \frac {a}{b} \lt \frac {a + c}{b + c} }[/math].

@@ 第18行： / 第18行： @@
 所以，如要证明 <math>x \le a</math>, 只需证明 <math>x - a \le 0</math> 即可.
+= 重要不等式 =
+== 重要不等式 ==
+<math>a^2 + b^2 > 2ab \;(a \neq b)</math>
+== 糖水原理 ==
+向容器中加入 <math>a</math> 克水，<math>b</math> 克糖得到糖的溶液，
+它的质量分数就是 <math>\frac {a}{a + b}</math>.
+再向容器中加入 <math>c</math> 克糖
+得到质量分数为 <math>\frac{a+c}{a+b+c}</math> 的糖溶液
+加入两次糖后的溶液更甜，即后者质量分数更大.
+即
+<math>\frac {a}{b} < \frac {a + c}{b + c}</math>.
+=== 证明过程 ===
+其中，<math>a > b > 0, \; c > 0</math>，作差证明：
+<math>\frac {a}{b} - \frac {a + c}{b + c} = \frac {ab + bc - ab - ac}{a(a + c)} = \frac {bc - ac}{a(a + c)} = \frac {c(b - a)}{a(a + c)} < 0</math>
+所以 <math>\frac {a}{b} < \frac {a + c}{b + c}</math>.
+[[分类:数学]]