逻辑用语

使用“若”“推出”“就”“所有”“或”等词语写出，且用于引入概念、表述规律、推导定理等的句子句和词语，经过规范化使之意义更加清楚严谨后，叫做逻辑用语

命题

命题的共同特征是作出了判断。要么成立，要么不成立。这种语句叫做命题.

成立的命题叫做真命题，不成立的命题叫做假命题.

数学中存在暂时不知道真假的命题，称之为猜想.

命题由条件和结论组成。

命题一般都具有“若 [math]\displaystyle{ p }[/math]，则 [math]\displaystyle{ q }[/math]”的形式，其中 [math]\displaystyle{ p }[/math] 叫做命题的条件，[math]\displaystyle{ q }[/math] 叫做命题的结论。

一般来说，命题是就是一个陈述句。

结构

结构是：若 [math]\displaystyle{ p }[/math] 则 [math]\displaystyle{ q }[/math].

否定是：若 [math]\displaystyle{ p }[/math] 则 [math]\displaystyle{ \neg q }[/math].

否命题：若 [math]\displaystyle{ \neg p }[/math] 则 [math]\displaystyle{ \neg q }[/math].

逆命题：若 [math]\displaystyle{ q }[/math] 则 [math]\displaystyle{ p }[/math].

充分条件和必要条件

1. [math]\displaystyle{ p \Rightarrow q }[/math], 象征 [math]\displaystyle{ A \subseteq B }[/math], 则 [math]\displaystyle{ p }[/math] 是 [math]\displaystyle{ q }[/math] 的充分条件；

2. [math]\displaystyle{ p \Rightarrow q }[/math]， [math]\displaystyle{ q \not\Rightarrow p }[/math], 象征 [math]\displaystyle{ A \subsetneqq B }[/math], 则 [math]\displaystyle{ p }[/math] 是 [math]\displaystyle{ q }[/math] 的充分不必要条件；

3. [math]\displaystyle{ q \Rightarrow p }[/math]， [math]\displaystyle{ p \not\Rightarrow q }[/math], 象征 [math]\displaystyle{ B \subsetneqq A }[/math], 则 [math]\displaystyle{ p }[/math] 是 [math]\displaystyle{ q }[/math] 的充分不必要条件；

4. [math]\displaystyle{ p \Rightarrow q }[/math]， [math]\displaystyle{ q \Rightarrow p }[/math], 则 [math]\displaystyle{ p \Leftrightarrow q }[/math], 象征 [math]\displaystyle{ A = B }[/math], 则 [math]\displaystyle{ p }[/math] 是 [math]\displaystyle{ q }[/math] 的充分必要条件，简称充要条件；

含有量词的命题

全称量词命题：

对 [math]\displaystyle{ M }[/math] 的任意一个元素 [math]\displaystyle{ x }[/math]，有 [math]\displaystyle{ p(x) }[/math] 成立：

[math]\displaystyle{ \forall \; x \in M , \; p(x) }[/math]

上面这种命题叫全称量词命题. 在数学上，“任意”“每一个”等全称量词用符号 [math]\displaystyle{ \forall }[/math] 表示.

例如：对于任意实数 [math]\displaystyle{ a , \; a^2 + 1 \gt 0 }[/math].

用符号表示是：[math]\displaystyle{ \forall \; x \in R , \; a^2 + 1 \gt 0 }[/math]

存在量词命题：

对 [math]\displaystyle{ M }[/math] 的某个元素 [math]\displaystyle{ x }[/math]，使 [math]\displaystyle{ p(x) }[/math] 成立：

[math]\displaystyle{ \exists \; x \in M, \; p(x) }[/math]

上面这种命题叫存在量词命题. 在数学上，“存在某个”“至少有一个”等存在量词用符号 [math]\displaystyle{ \exists }[/math] 表示.

例如：存在某个整数 [math]\displaystyle{ a }[/math], 使得 [math]\displaystyle{ a^2 - 1 }[/math] 是 [math]\displaystyle{ 5 }[/math] 的倍数.

用符号表示是：[math]\displaystyle{ \exists \; x \in Z, \; \frac{a^2 - 1}{5} \in Z }[/math]