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| 第40行： | 第40行： | ||
== 糖水原理 == | == 糖水原理 == | ||
<math>a</math> 克糖水中有 <math>b</math> 克糖， | |||
它的质量分数就是 <math>\frac {b}{a | 它的质量分数就是 <math>\frac {b}{a}</math>. | ||
再向容器中加入 <math>c</math> 克糖， | 再向容器中加入 <math>c</math> 克糖， | ||
得到质量分数为 <math>\frac{b+c}{a | 得到质量分数为 <math>\frac{b+c}{a+c}</math> 的糖溶液. | ||
加入两次糖后的溶液更甜，即'''后者'''质量分数更大. | 加入两次糖后的溶液更甜，即'''后者'''质量分数更大. | ||
| 第52行： | 第52行： | ||
即 | 即 | ||
<math>\frac { | <math>\frac {b}{a} < \frac {b + c}{a + c}</math>. | ||
=== 证明过程 === | === 证明过程 === | ||
| 第60行： | 第60行： | ||
作差证明： | 作差证明： | ||
<math>\frac { | <math>\frac {b}{a} - \frac {b + c}{a + c} = \frac {ab + bc - ab - ac}{a(a + c)} = \frac {bc - ac}{a(a + c)} = \frac {c(b - a)}{a(a + c)} < 0</math> | ||
所以 <math>\frac {b}{a} < \frac {b + c}{a + c}</math>. | |||
== 一元二次不等式 == | |||
=== 与二次函数的关系 === | |||
{| class="wikitable" | |||
|+ | |||
! | |||
!<math>\Delta > 0</math> | |||
!<math>\Delta = 0</math> | |||
!<math>\Delta < 0</math> | |||
|- | |||
!<math>y = ax^2 + bx + c \quad (a > 0)</math> 的图象 | |||
|[[文件:Delta大于0.png|缩略图|140px|此时与x轴有两个交点]] | |||
|[[文件:Delta等于0.png|缩略图|140px|此时图像与x轴有且仅有一个交点（或有两个相同的实数解）]] | |||
|[[文件:Delta小于0.png|缩略图|140px|此时与x轴没有交点]] | |||
|- | |||
!<math>ax^2 + bx + c = 0 \quad (a > 0)</math> 的根 | |||
|有两个不相等的实数根 <math>x_1, x_2 \quad (x_1 < x_2)</math> | |||
|有两个相等的实数根 <math>x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}</math> | |||
|没有实数根 | |||
|- | |||
!<math>ax^2 + bx + c > 0 \quad (a > 0)</math> 的解集 | |||
|<math>\{x \mid x < x_1 \text{ 或 } x > x_2\}</math> | |||
|<math>\{x \mid x \neq -\frac{b}{2a}\}</math> | |||
|<math>\mathbb{R}</math> | |||
|- | |||
!<math>ax^2 + bx + c < 0 \quad (a > 0)</math> 的解集 | |||
|<math>\{x \mid x_1 < x < x_2\}</math> | |||
|<math>\emptyset</math> | |||
|<math>\emptyset</math> | |||
|} | |||
== 一元二次方程根的分布/二次函数的零点分布（卡根法） == | |||
{| class="wikitable" | |||
|+两根与 0 的大小比较即根的正负情况（表一） | |||
!分布情况 | |||
!两个负根 即两根都小于 0 | |||
<math>(x_1 < 0, x_2 < 0)</math> | |||
!两个正根 即两根都大于 0 | |||
!一正根一负根 即一根小于 0，一根大于 0 | |||
|- | |||
!大致图象 <math>(a>0)</math> | |||
|<图象> | |||
|<图象> | |||
|<图象> | |||
|- | |||
!得出的结论 | |||
| | |||
| | |||
| | |||
|} | |||
{| class="wikitable" | |||
|+两根与 0 的大小比较即根的正负情况（表二） | |||
!分布情况 | |||
!两个负根 即两根都小于 0 | |||
!两个正根 即两根都大于 0 | |||
!一正根一负根 即一根小于 0，一根大于 0 | |||
|- | |||
!大致图象 (a<0) | |||
|<图象> | |||
|<图象> | |||
|<图象> | |||
|- | |||
!得出的结论 | |||
| | |||
| | |||
| | |||
|} | |||
= 例题 = | = 例题 = | ||
| 第89行： | 第158行： | ||
* 因此，当这个矩形菜园时边长为 <math>9\,\text{m}</math> 的正方形时，菜园面积最大，最大面积是 <math>81\,\text{m}^2</math>. | * 因此，当这个矩形菜园时边长为 <math>9\,\text{m}</math> 的正方形时，菜园面积最大，最大面积是 <math>81\,\text{m}^2</math>. | ||
[[分类: | [[分类:代数]] | ||