不等式：修订间差异

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-我们经常用不等式来研究含有不等关系的问题.
+我们经常用'''不等式'''来研究含有不等关系的问题.
 == 基本事实 ==
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 所以，如要证明 <math>x \le a</math>, 只需证明 <math>x - a \le 0</math> 即可.
-= 特殊不等式 =
+== 基本不等式 ==
-== 基本不等式 ==
+'''把不等式 <math>\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}(a > 0, \; b > 0)</math> 称为<big>{{color|red|基本不等式}}</big>.'''
 对任意 <math>a, b \in R, a^2 + b^2 \ge 2ab</math>，当且仅当 <math>a = b</math> 时等号成立.
 对任意正数 <math>a, b, \frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}</math>，当且仅当 <math>a = b</math> 时等号成立.
+一般地，对于正数 <math>a,\; b</math>，我们把 <math>\frac{a + b}{2}</math> 称为 <math>a,\; b</math> 的'''算术平均数'''，<math>\sqrt{ab}</math> 称为 <math>a,\; b</math> 的'''几何平均数'''.
+=== 拓展结论 ===
+# 已知 <math>x, \; y</math> 都为正数，如果 <math>xy</math> 等于定值 <math>P</math>，那么当且仅当 <math>x = y</math> 时，和 <math>x + y</math>有最小值 <math>2 \sqrt{p}</math>;
+# 如果 <math>x + y</math> 是定值 <math>s</math>，那么当且仅当 <math>x = y</math> 时，积 <math>xy</math> 有最大值 <math>\frac{s^2}{4}</math>.
+由此可总结出：
+当两个{{color|red|正数}}变量的{{color|blue|积}}或{{color|orange|和}}为{{color|red|定值}}时，他们的{{color|blue|和有最小值}}或{{color|orange|积有最大值}}
 == 糖水原理 ==
-向容器中加入 <math>a</math> 克水，<math>b</math> 克糖得到糖的溶液，
+<math>a</math> 克糖水中有 <math>b</math> 克糖，
-它的质量分数就是 <math>\frac {a}{a + b}</math>.
+它的质量分数就是 <math>\frac {b}{a}</math>.
-再向容器中加入 <math>c</math> 克糖
+再向容器中加入 <math>c</math> 克糖，
-得到质量分数为 <math>\frac{a+c}{a+b+c}</math> 的糖溶液
+得到质量分数为 <math>\frac{b+c}{a+c}</math> 的糖溶液.
-加入两次糖后的溶液更甜，即后者质量分数更大.
+加入两次糖后的溶液更甜，即'''后者'''质量分数更大.
 即
-<math>\frac {a}{b} < \frac {a + c}{b + c}</math>.
+<math>\frac {b}{a} < \frac {b + c}{a + c}</math>.
 === 证明过程 ===
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 作差证明：
-<math>\frac {a}{b} - \frac {a + c}{b + c} = \frac {ab + bc - ab - ac}{a(a + c)} = \frac {bc - ac}{a(a + c)} = \frac {c(b - a)}{a(a + c)} < 0</math>
+<math>\frac {b}{a} - \frac {b + c}{a + c} = \frac {ab + bc - ab - ac}{a(a + c)} = \frac {bc - ac}{a(a + c)} = \frac {c(b - a)}{a(a + c)} < 0</math>
+所以 <math>\frac {b}{a} < \frac {b + c}{a + c}</math>.
+== 一元二次不等式 ==
+=== 与二次函数的关系 ===
+{| class="wikitable"
+|+
+!
+!<math>\Delta > 0</math>
+!<math>\Delta = 0</math>
+!<math>\Delta < 0</math>
+|-
+!<math>y = ax^2 + bx + c \quad (a > 0)</math> 的图象
+|[[文件:Delta大于0.png|缩略图|140px|此时与x轴有两个交点]]
+|[[文件:Delta等于0.png|缩略图|140px|此时图像与x轴有且仅有一个交点（或有两个相同的实数解）]]
+|[[文件:Delta小于0.png|缩略图|140px|此时与x轴没有交点]]
+|-
+!<math>ax^2 + bx + c = 0 \quad (a > 0)</math> 的根
+|有两个不相等的实数根 <math>x_1, x_2 \quad (x_1 < x_2)</math>
+|有两个相等的实数根 <math>x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}</math>
+|没有实数根
+|-
+!<math>ax^2 + bx + c > 0 \quad (a > 0)</math> 的解集
+|<math>\{x \mid x < x_1 \text{ 或 } x > x_2\}</math>
+|<math>\{x \mid x \neq -\frac{b}{2a}\}</math>
+|<math>\mathbb{R}</math>
+|-
+!<math>ax^2 + bx + c < 0 \quad (a > 0)</math> 的解集
+|<math>\{x \mid x_1 < x < x_2\}</math>
+|<math>\emptyset</math>
+|<math>\emptyset</math>
+|}
+== 一元二次方程根的分布/二次函数的零点分布（卡根法） ==
+{| class="wikitable"
+|+两根与 0 的大小比较即根的正负情况（表一）
+!分布情况
+!两个负根 即两根都小于 0
+<math>(x_1 < 0, x_2 < 0)</math>
+!两个正根 即两根都大于 0
+!一正根一负根 即一根小于 0，一根大于 0
+|-
+!大致图象 <math>(a>0)</math>
+|<图象>
+|<图象>
+|<图象>
+|-
+!得出的结论
+|
+|
+|
+|}
+{| class="wikitable"
+|+两根与 0 的大小比较即根的正负情况（表二）
+!分布情况
+!两个负根 即两根都小于 0
+!两个正根 即两根都大于 0
+!一正根一负根 即一根小于 0，一根大于 0
+|-
+!大致图象 (a<0)
+|<图象>
+|<图象>
+|<图象>
+|-
+!得出的结论
+|
+|
+|
+|}
+= 例题 =
+== 基本不等式 ==
+=== 用一段长为 <math>36\,\text{m}</math> 的篱笆围成一个矩形菜园.===
+# 当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
+# 当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
+解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为 <math>x\,\text{m}, y\,\text{m}</math>，则篱笆的长度为 <math>2(x + y)\,\text{m}</math>.
+.
+* 由已知，得 <math>xy = 100</math>，
+* 根据基本不等式 <math>\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{xy}</math>，
+* 可得 <math>x + y \geq 2\sqrt{xy} = 2\sqrt{100} = 20</math>，
+* 所以，<math>2(x + y) \geq 40</math>
+* 当且仅当 <math>x = y = 10</math> 时，上式等号成立.
+* 因此，当这个矩形菜园是边长为 <math>10\,\text{m}</math> 的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为 <math>40\,\text{m}</math>.
+.
-所以 <math>\frac {a}{b} < \frac {a + c}{b + c}</math>.
+* 由已知，得 <math>2(x + y) = 40</math>，矩形菜园的面积为 <math>xy\,\text{m}^2</math>.
+* 根据基本不等式可得 <math>\sqrt{xy} \leq \frac{x + y}{2} = \frac{18}{2} = 9</math>，
+* 所以，<math>xy \leq 81</math>.
+* 当且仅当 <math>x = y = 9</math> 时，上式等号成立.
+* 因此，当这个矩形菜园时边长为 <math>9\,\text{m}</math> 的正方形时，菜园面积最大，最大面积是 <math>81\,\text{m}^2</math>.
-[[分类:数学]]
+[[分类:代数]]