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使用“若”“推出”“就”“所有”“或”等词语写出，且用于引入概念、表述规律、推导定理等的句子句和词语，经过规范化使之意义更加清楚严谨后，叫做'''逻辑用语''' | 使用“若”“推出”“就”“所有”“或”等词语写出，且用于引入概念、表述规律、推导定理等的句子句和词语，经过规范化使之意义更加清楚严谨后，叫做'''逻辑用语''' | ||
= 命题 = | |||
命题的共同特征是作出了判断。要么成立，要么不成立。这种语句叫做'''命题'''. | 命题的共同特征是作出了判断。要么成立，要么不成立。这种语句叫做'''命题'''. | ||
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数学中存在暂时不知道真假的命题，称之为'''猜想'''. | 数学中存在暂时不知道真假的命题，称之为'''猜想'''. | ||
命题由条件和结论组成。 | |||
命题一般都具有“若 <math>p</math>，则 <math>q</math>”的形式，其中 <math>p</math> 叫做命题的条件，<math>q</math> 叫做命题的结论。 | |||
一般来说，命题是就是一个陈述句。 | 一般来说，命题是就是一个陈述句。 | ||
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否定是：若 <math>p</math> 则 <math>\neg q</math>. | |||
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逆命题：若 <math>q</math> 则 <math>p</math>. | |||
== 充分条件和必要条件 == | |||
# <math>p \Rightarrow q</math>, 象征 <math>A \subseteq B</math>, 则 <math>p</math> 是 <math>q</math> 的'''充分条件'''； | |||
# <math>p \Rightarrow q</math>， <math>q \not\Rightarrow p</math>, 象征 <math>A \subsetneqq B</math>, 则 <math>p</math> 是 <math>q</math> 的'''充分不必要条件'''； | |||
# <math>q \Rightarrow p</math>， <math>p \not\Rightarrow q</math>, 象征 <math>B \subsetneqq A</math>, 则 <math>p</math> 是 <math>q</math> 的'''充分不必要条件'''； | |||
# <math>p \Rightarrow q</math>， <math>q \Rightarrow p</math>, 则 <math>p \Leftrightarrow q</math>, 象征 <math>A = B</math>, 则 <math>p</math> 是 <math>q</math> 的'''充分必要条件'''，简称'''充要条件'''； | |||
== 含有量词的命题 == | |||
=== 全称量词命题 === | |||
对 <math>M</math> 的任意一个元素 <math>x</math>，有 <math>p(x)</math> 成立： | |||
<math>\forall \; x \in M , \; p(x)</math> | |||
上面这种命题叫'''全称量词命题'''. 在数学上，“任意”“每一个”等'''全称量词'''用符号 <math>\forall</math> 表示. | |||
例如：对于任意实数 <math>a , \; a^2 + 1 > 0</math>. | |||
用符号表示是：<math>\forall \; x \in R , \; a^2 + 1 > 0</math> | |||
=== 存在量词命题 === | |||
对 <math>M</math> 的某个元素 <math>x</math>，使 <math>p(x)</math> 成立： | |||
<math>\exists \; x \in M, \; p(x)</math> | |||
上面这种命题叫'''存在量词命题'''. 在数学上，“存在某个”“至少有一个”等'''存在量词'''用符号 <math>\exists</math> 表示. | |||
例如：存在某个整数 <math>a</math>, 使得 <math>a^2 - 1 </math> 是 <math>5</math> 的倍数. | |||
用符号表示是：<math>\exists \; x \in Z, \; \frac{a^2 - 1}{5} \in Z</math> | |||
== 含量词命题的否定 == | |||
=== 全称量词命题 === | |||
原命题：<math>\forall \; x, \; p(x)</math> | |||
否定命题：<math>\exists \; x_0, \; \neg p(x)</math> | |||
=== 存在量词命题 === | |||
原命题：<math>\exists \; x, \; p(x)</math> | |||
否定命题：<math>\forall \; x, \; \neg p(x)</math> | |||
=== 示例 === | |||
原命题：<math>\exists \; x \in R, \; - 2x^2 + 4x - 3 > 0</math> | |||
否定命题：<math>\forall \; x \in R, \; - 2x^2 + 4x - 3 \le 0</math> | |||
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2024年7月27日 (六) 01:21的最新版本
使用“若”“推出”“就”“所有”“或”等词语写出，且用于引入概念、表述规律、推导定理等的句子句和词语，经过规范化使之意义更加清楚严谨后，叫做逻辑用语
命题
命题的共同特征是作出了判断。要么成立，要么不成立。这种语句叫做命题.
成立的命题叫做真命题，不成立的命题叫做假命题.
数学中存在暂时不知道真假的命题，称之为猜想.
命题由条件和结论组成。
命题一般都具有“若 [math]\displaystyle{ p }[/math]，则 [math]\displaystyle{ q }[/math]”的形式，其中 [math]\displaystyle{ p }[/math] 叫做命题的条件，[math]\displaystyle{ q }[/math] 叫做命题的结论。
一般来说，命题是就是一个陈述句。
命题结构
结构是：若 [math]\displaystyle{ p }[/math] 则 [math]\displaystyle{ q }[/math].
否定是：若 [math]\displaystyle{ p }[/math] 则 [math]\displaystyle{ \neg q }[/math].
否命题：若 [math]\displaystyle{ \neg p }[/math] 则 [math]\displaystyle{ \neg q }[/math].
逆命题：若 [math]\displaystyle{ q }[/math] 则 [math]\displaystyle{ p }[/math].
充分条件和必要条件
- [math]\displaystyle{ p \Rightarrow q }[/math], 象征 [math]\displaystyle{ A \subseteq B }[/math], 则 [math]\displaystyle{ p }[/math] 是 [math]\displaystyle{ q }[/math] 的充分条件；
- [math]\displaystyle{ p \Rightarrow q }[/math]， [math]\displaystyle{ q \not\Rightarrow p }[/math], 象征 [math]\displaystyle{ A \subsetneqq B }[/math], 则 [math]\displaystyle{ p }[/math] 是 [math]\displaystyle{ q }[/math] 的充分不必要条件；
- [math]\displaystyle{ q \Rightarrow p }[/math]， [math]\displaystyle{ p \not\Rightarrow q }[/math], 象征 [math]\displaystyle{ B \subsetneqq A }[/math], 则 [math]\displaystyle{ p }[/math] 是 [math]\displaystyle{ q }[/math] 的充分不必要条件；
- [math]\displaystyle{ p \Rightarrow q }[/math]， [math]\displaystyle{ q \Rightarrow p }[/math], 则 [math]\displaystyle{ p \Leftrightarrow q }[/math], 象征 [math]\displaystyle{ A = B }[/math], 则 [math]\displaystyle{ p }[/math] 是 [math]\displaystyle{ q }[/math] 的充分必要条件，简称充要条件；
含有量词的命题
全称量词命题
对 [math]\displaystyle{ M }[/math] 的任意一个元素 [math]\displaystyle{ x }[/math]，有 [math]\displaystyle{ p(x) }[/math] 成立：
[math]\displaystyle{ \forall \; x \in M , \; p(x) }[/math]
上面这种命题叫全称量词命题. 在数学上，“任意”“每一个”等全称量词用符号 [math]\displaystyle{ \forall }[/math] 表示.
例如：对于任意实数 [math]\displaystyle{ a , \; a^2 + 1 \gt 0 }[/math].
用符号表示是：[math]\displaystyle{ \forall \; x \in R , \; a^2 + 1 \gt 0 }[/math]
存在量词命题
对 [math]\displaystyle{ M }[/math] 的某个元素 [math]\displaystyle{ x }[/math]，使 [math]\displaystyle{ p(x) }[/math] 成立：
[math]\displaystyle{ \exists \; x \in M, \; p(x) }[/math]
上面这种命题叫存在量词命题. 在数学上，“存在某个”“至少有一个”等存在量词用符号 [math]\displaystyle{ \exists }[/math] 表示.
例如：存在某个整数 [math]\displaystyle{ a }[/math], 使得 [math]\displaystyle{ a^2 - 1 }[/math] 是 [math]\displaystyle{ 5 }[/math] 的倍数.
用符号表示是：[math]\displaystyle{ \exists \; x \in Z, \; \frac{a^2 - 1}{5} \in Z }[/math]
含量词命题的否定
全称量词命题
原命题：[math]\displaystyle{ \forall \; x, \; p(x) }[/math]
否定命题：[math]\displaystyle{ \exists \; x_0, \; \neg p(x) }[/math]
存在量词命题
原命题：[math]\displaystyle{ \exists \; x, \; p(x) }[/math]
否定命题：[math]\displaystyle{ \forall \; x, \; \neg p(x) }[/math]
示例
原命题：[math]\displaystyle{ \exists \; x \in R, \; - 2x^2 + 4x - 3 \gt 0 }[/math]
否定命题：[math]\displaystyle{ \forall \; x \in R, \; - 2x^2 + 4x - 3 \le 0 }[/math]