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我们经常用'''不等式'''来研究含有不等关系的问题.

== 基本事实 ==

如果 <math>a - b > 0</math>, 那么 <math>a > b</math>

如果 <math>a - b = 0</math>, 那么 <math>a = b</math>

如果 <math>a - b < 0</math>, 那么 <math>a < b</math>

反过来也成立. 即

<math> a > b \Leftrightarrow a - b > 0</math>

<math> a = b \Leftrightarrow a - b = 0</math>

<math> a < b \Leftrightarrow a - b < 0</math>

所以，如要证明 <math>x \le a</math>, 只需证明 <math>x - a \le 0</math> 即可.

= 特殊不等式 =

== 基本不等式 ==

'''把不等式 <math>\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}(a > 0, \; b > 0)</math> 称为<big>基本不等式</big>.'''

对任意 <math>a, b \in R, a^2 + b^2 \ge 2ab</math>，当且仅当 <math>a = b</math> 时等号成立.

对任意正数 <math>a, b, \frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}</math>，当且仅当 <math>a = b</math> 时等号成立.

一般地，对于正数 <math>a,\; b</math>，我们把 <math>\frac{a + b}{2}</math> 称为 <math>a,\; b</math> 的'''算数平均数'''，<math>\sqrt{ab}</math> 称为 <math>a,\; b</math> 的'''几何平均数'''. 

=== 拓展结论 ===

# 已知 <math>x, \; y</math> 都为正数，那么当且仅当 <math>x = y</math> 时，和 <math>x + y</math>有最小值 <math>2 \sqrt{p}</math>;
# 如果 <math>x + y</math> 是定值 <math>s</math>，那么当且仅当 <math>x = y</math> 时，积 <math>xy</math> 有最大值 <math>\frac{s^2}{4}</math>.

== 糖水原理 ==

向容器中加入 <math>a</math> 克水，<math>b</math> 克糖得到糖的溶液，

它的质量分数就是 <math>\frac {a}{a + b}</math>.

再向容器中加入 <math>c</math> 克糖，

得到质量分数为 <math>\frac{a+c}{a+b+c}</math> 的糖溶液.

加入两次糖后的溶液更甜，即'''后者'''质量分数更大. 

即

<math>\frac {a}{b} < \frac {a + c}{b + c}</math>.

=== 证明过程 ===

其中，<math>a > b > 0, \; c > 0</math>.

作差证明：

<math>\frac {a}{b} - \frac {a + c}{b + c} = \frac {ab + bc - ab - ac}{a(a + c)} = \frac {bc - ac}{a(a + c)} = \frac {c(b - a)}{a(a + c)} < 0</math>

所以 <math>\frac {a}{b} < \frac {a + c}{b + c}</math>.

[[分类:数学]]