查看“不等式”的源代码

我们经常用不等式来研究含有不等关系的问题.

== 基本事实 ==

如果 <math>a - b > 0</math>, 那么 <math>a > b</math>

如果 <math>a - b = 0</math>, 那么 <math>a = b</math>

如果 <math>a - b < 0</math>, 那么 <math>a < b</math>

反过来也成立. 即

<math> a > b \Leftrightarrow a - b > 0</math>

<math> a = b \Leftrightarrow a - b = 0</math>

<math> a < b \Leftrightarrow a - b < 0</math>

所以，如要证明 <math>x \le a</math>, 只需证明 <math>x - a \le 0</math> 即可.

= 重要不等式 =

== 基本不等式 ==

可由 <math>\sqrt{ab} < \frac{a + b}{2}, \; (a \neq b)</math> 得到.

<math>a^2 + b^2 > 2ab \;(a \neq b)</math>

== 糖水原理 ==

向容器中加入 <math>a</math> 克水，<math>b</math> 克糖得到糖的溶液，

它的质量分数就是 <math>\frac {a}{a + b}</math>.

再向容器中加入 <math>c</math> 克糖

得到质量分数为 <math>\frac{a+c}{a+b+c}</math> 的糖溶液

加入两次糖后的溶液更甜，即后者质量分数更大. 

即

<math>\frac {a}{b} < \frac {a + c}{b + c}</math>.

=== 证明过程 ===

其中，<math>a > b > 0, \; c > 0</math>，作差证明：

<math>\frac {a}{b} - \frac {a + c}{b + c} = \frac {ab + bc - ab - ac}{a(a + c)} = \frac {bc - ac}{a(a + c)} = \frac {c(b - a)}{a(a + c)} < 0</math>

所以 <math>\frac {a}{b} < \frac {a + c}{b + c}</math>.

[[分类:数学]]